\section{Dérivées et opérations}\MotDefinition[Dérivée (opérations)]{}{}
\begin{propriete}[Dérivation : somme et produit]
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur $I$ et $k \in \mathbb{R}$. Alors:
\begin{itemize}
 \item La fonction $u+v : x \mapsto u(x) + v(x)$ est dérivable sur $I$ et on a $(u+v)' = u' + v'$.
 \item La fonction $ku : x \mapsto ku(x)$ est dérivable sur $I$ et on a $(ku)' = ku'$.
 \item La fonction $uv : x \mapsto u(x)v(x)$ est dérivable sur $I$ et on a $(uv)'=u'v+uv'$.
\end{itemize}
\end{propriete}

\begin{preuve}
Soit $a \in I$ et $h \neq 0$ tel que $a+h \in I$. Alors :
\begin{itemize}
 \item
 $
 \TopStrut[1.75]\dfrac{(u+v)(a+h)-(u+v)(a)}{h} = \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h} + \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h} \underset{h \to 0}{\to} u'(a) + v'(a).
 $
 \item Le deuxième point se traite facilement.
 \item $\begin{aligned}[t]
     \TopStrut[1.75]
  \dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h} &= \dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h} \\
  	& = \dfrac{u(a+h)\textcolor{H1}{v(a+h)}-\textcolor{G1}{u(a)}v(a) \overbrace{+\textcolor{G1}{u(a)}v(a+h)-u(a)\textcolor{H1}{v(a+h)}}^{\text{On ajoute et retranche la même quantité}}}{h} \\
  	& = \dfrac{u(a+h))-u(a)}{h}\textcolor{H1}{v(a+h)} + \textcolor{G1}{u(a)}\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h} \\
  	& \underset{h \to 0}{\to} u'(a)v(a) + u(a)v'(a).
 \end{aligned}$
\end{itemize}
\end{preuve}

\begin{exemple*1}
 \begin{enumerate}
  \item $f : x \mapsto \sqrt{x} + x^5$ est de la forme $u+v$ avec $u(x)=\sqrt{x}$ et $v(x) = x^5$. Ainsi :
   \[
    f'(x) = u'(x) + v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}+5x^4.
   \]
  \item $f : x \mapsto 8x^5$ est de la forme $ku$ avec $k=8$ et $u(x)=x^5$. Ainsi :
  \[
   f'(x) = ku'(x) = 8 \times 5x^4 = 40x^4.
  \]
  \item $f : x \mapsto 8x^5\sqrt{x}$ est de la forme $uv$ avec $u(x)=8x^5$ et $v(x)=\sqrt{x}$. Ainsi :
   \[
    f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 40x^4 \sqrt{x} + 8x^5 \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{40x^4x+4x^5}{\sqrt{x}} = \dfrac{44x^5}{\sqrt{x}}.
   \]
 \end{enumerate}
\end{exemple*1}