\begin{propriete}[Dérivées des fonctions usuelles]\MotDefinition[Dérivée (fonctions usuelles)]{}{}
\begin{ltableau}{\linewidth}{4}
 \hline
 Fonction & \centering Domaine\par de définition & 
            \centering Domaine de\par dérivabilité & 
            \centering Fonction dérivée\tabularnewline
 \hline
 $f(x)=mx+p$ & $\mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$ & $f'(x)=m$\tabularnewline
 \hline
 $f(x)=p$ & $\mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$ & $f'(x)=0$\tabularnewline
 \hline
 $f(x)=x^2$ & $\mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$ & $f'(x)=2x$\tabularnewline
 \hline
 $f(x)=x^n$, $n \in \mathbb{N}$ & $\mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$ & $f'(x)=nx^{n-1}$\tabularnewline
 \hline
 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ \Strut[1.5]\BotStrut[2] & $\mathbb{R}^\star$ & $\mathbb{R}^\star$ & $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$\tabularnewline
 \hline
 $f(x)=\sqrt{x}$ & $[0\ ;\ +\infty[$ & $]0\ ;\ +\infty[$ & \TopStrut[1.5]\BotStrut[2.25] $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$\tabularnewline
 \hline
\end{ltableau}
\end{propriete}

\begin{preuve}
  \begin{itemize}
  \item Soit $f : x \mapsto mx+p$. Voir
    exercice~\RefExercice*{1SA3_E_calcul_nb_derive}
    p.~\pageref{1SA3_E_calcul_nb_derive}.
  \item Soit $f:x \mapsto x^2$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $h
    \neq 0$, on a:
    \[
    \dfrac{\Delta f}{\Delta x}(x) = \dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} =
    \dfrac{2xh+h^2}{h} = 2x+h \underset{h \to 0}{\to} 2x.
    \]
  \item Soit $f:x \mapsto \dfrac{1}{x}$. Pour tout $x \in
    \mathbb{R}^\star$ et $h \neq 0$ tel que $x+h \in
    \mathbb{R}^\star$, on a:
    \[
    \dfrac{\Delta f}{\Delta x}(x) =
    \dfrac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h} =
    \dfrac{-\dfrac{h}{x(x+h)}}{h} = -\dfrac{1}{x(x+h)} \underset{h \to
      0}{\to} -\dfrac{1}{x^2}.
    \]
  \item Soit $f:x \mapsto \sqrt{x}$. Pour tout $x \in ]0\ ;\ +\infty[$
    et $h \neq 0$ tel que $x+h \in ]0\ ;\ +\infty[$, on a:
    \[
    \dfrac{\Delta f}{\Delta x}(x) = \dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} =
    \dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \times
    \dfrac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=
    \dfrac{\cancel{h}}{\cancel{h}\Big(\sqrt{x+h} + \sqrt{x}\Big)} =
    \underset{h \to 0}{\to} \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
    \]
  \end{itemize}
\end{preuve}