\begin{propriete}[Équation réduite de la tangente]
  Soit $f$ une fonction dérivable en $a$ de courbe représentative
  $\mathcal{C}_f$. \textbf{L'équation réduite de la tangente} à $\mathcal{C}_f$
  au point d'abscisse $a$ est :
\[
y = f'(a)(x-a)+f(a).
\]
\end{propriete}

\begin{preuve}
 Si $f$ est dérivable en $a$, $f'(a)$ est alors par définition le coefficient directeur de la tangente donc son équation est du type $y=f'(a)x+p$. Pour déterminer $p$, on utilise le point commun à la tangente et à la courbe, c'est-à-dire $A(a\ ;\ f(a))$. On obtient alors :
 \[
  f(a) = f'(a)a+p \iff p = f(a)-f'(a)a.
 \]
 Ainsi, l'équation réduite de la tangente est :
 \[
  y = f'(a)x + f(a) - f'(a)a = f'(a)(x-a) + f(a).
 \]
\end{preuve}