\begin{exercice}[Économie : élasticité]
 En économie, l'élasticité mesure la variation d'une grandeur provoquée par la variation d'une autre grandeur.
 Plus précisément, notons $q$ la quantité de biens achetés (demandés) par les consommateurs et $p$ le prix de vente de ces biens. On suppose que, lorsque $p$ varie de $p_D$ à $p_A$, $q$ varie de $q_D$ à $q_A$. L'élasticité-prix de la demande est alors :
  \[
 E = \dfrac{\dfrac{\Delta q}{q}}{\dfrac{\Delta p}{p}} = \dfrac{\dfrac{q_A-q_D}{q_D}}{\dfrac{p_A-p_D}{p_D}}.
 \]
  \begin{enumerate}
  \item Dans chacun des cas suivants, calculer $E$ :
  \begin{enumerate}
   \item le prix a baissé de 3 \%, la demande a augmenté de 6 \% ;
   \item le prix a augmenté de 5 \%, la demande a baissé de 10 \% ;
   \item la demande a augmenté de 15 \%, le prix a augmenté de 5 \%.
  \end{enumerate}
  \item Si l'élasticité vaut $4$ et que le prix augmente de 2 \%, quelle est l'évolution de la demande ?
  \item On suppose maintenant que la demande évolue en fonction du prix affiché : $q = f(p)$.
  \begin{enumerate}
   \item Démontrer que si le prix varie de $p$ à $p+h$, alors :
   \[
   E = \dfrac{f(p+h)-f(p)}{h} \times \dfrac{p}{f(p)}.
   \]
   \item À quelle condition peut-on faire l'approximation suivante :
   \[
   E \approx f'(p) \times \dfrac{p}{f(p)}.
   \]
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{exercice}