\begin{exercice}[Approximation affine] \label{1SF3_A_approx_affine}
 D'après la définition, lorsqu'une fonction $f$ est dérivable en $a$ :
 \[
 \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \underset{h \to 0}{\to} f'(a).
 \]
 On peut également écrire cette définition sous la forme :
 \[
 \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a) + \varepsilon(h) \text{ où } \varepsilon(h) \underset{h \to 0}{\to} 0.
 \]
 \begin{enumerate}
  \item À partir de cette dernière égalité, écrire $f(a+h)$.
  \item Reproduire le graphique suivant et reporter chacune des quantités composant $f(a+h)$.
   \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[general, xscale=1.1, yscale=1.1]
     \draw[axe,color=black] (-1,0) -- (4.5,0);
     \draw[axe,color=black] (0,-0.5) -- (0,3.5);
	 \origine
     \draw[color=black] (2.25,0) node[below] {$a$};
     \draw[color=black] (3.5,0) node[below] {$a+h$};
     \draw[color=black] (0,1.0125) node[left] {$f(a)$};
     \draw[color=black] (0,2.45) node[left] {$f(a+h)$};
     \pointFigure{2.25}{1.0125}{A}{color=D1, above left};
     \draw[color=black, dashed, -] (2.25,0)--(2.25,1.0125);
     \draw[color=black, dashed, -] (0,1.0125)--(3.5,1.0125);
     \draw[color=black, dashed, -] (0,2.45)--(3.5,2.45);
     \draw[domain=-0.5:4.183, color=A1, smooth] plot(\x,{(\x*\x/5});
     \draw(3.75,3.25) [color=A1] node{{\boldmath $\mathcal{C}_f$}};
     \draw[domain=41/72:4.5, color=C1, smooth] plot(\x,{0.9*\x-81/80});
     \draw(1,-0.5) [color=C1] node{{\boldmath $\mathcal{T}_A$}};
     \draw[color=J1, epais, -] (3.5,0)--(3.5,1.0125);
	 \draw(3.9,0.50625) [color=J1] node{\ldots};
     \draw[color=G1, epais, -] (3.5,1.0125)--(3.5,2.1375);
	 \draw(3.9,1.575) [color=G1] node{\ldots};
     \draw[color=F1, epais, -] (3.5,2.1375)--(3.5,2.45);
	 \draw(3.9,2.29) [color=F1] node{\ldots};
     \draw[color=black, ->] (2.25,0.2)--(3.5,0.2);
     \draw(2.875,0.35) [color=black] node{$h$};
    \end{tikzpicture}
   \end{center}
  \item Lorsque $h$ est proche de 0, on peut négliger l'un des termes.
   \begin{enumerate}
    \item On a alors $f(a+h) \approx \ldots$
    \item Dans quelle formule du cours retrouve-t-on le membre de droite ? (On pourra poser $x = a+h$.)
   \end{enumerate}
   Cette écriture correspond à l'approximation affine de $f$ au voisinage de $a$.
  \item Dans chacun des cas suivants :
   \begin{enumerate}
    \item Écrire l'approximation de $f$ au voisinage de $a$ ;
    \item En déduire une valeur approchée des nombres demandés et comparer avec leur valeur exacte.
   \end{enumerate}
   \vspace{-1em}
   \begin{itemize}
    \item $f : x \mapsto x^2$, $a=1$. Calculer $1,01^2$ puis $0,996^2$.
    \item $f : x \mapsto \sqrt{x}$, $a=1$. Calculer $\sqrt{1,005}$ puis $\sqrt{0,999}$.
    \item $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$, $a=2$. Calculer $\dfrac{1}{2,002}$  puis $\dfrac{1}{1,995}$.
   \end{itemize}
   \vspace{-1em}
  \item En considérant la fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$, démontrer que pour tout réel $h$ proche de 0, $\dfrac{1}{1+h}$ est à peu près égal à $1-h$.
 \end{enumerate}
\end{exercice}