\begin{activite}[Du haut de l'Empire State Building]
Une petite pièce, admettant donc peu de résistance à l'air (par exemple un Penny), est lâchée du toit de l'Empire State Building. Est-ce dangereux si quelqu'un la reçoit sur sa tête et quelle est la vitesse de la pièce au moment de l'impact ?

\begin{partie}[Approche physique]
On donne les informations suivantes:
\begin{itemize}
\item hauteur du toit de l'Empire State Building : 381 m; 
\item distance (en m) parcourue par un corps en chute libre, sans tenir compte de la résistance de l'air, en fonction du temps (en s) : $z(t) = \dfrac{1}{2}gt^2$, où $g \approx$ 10 m$\cdot$s\up{$-2$} est l'accélération de la pesanteur.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item  Déterminer le temps mis par la pièce pour arriver au sol. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
 \item \begin{enumerate}
 \item Calculer la vitesse moyenne de la pièce depuis l'instant du lâcher jusqu'au moment de l'impact, en m$\cdot$s\up{$-1$} puis en \ukmh{}.
 \item Est-ce une bonne estimation de la vitesse au moment de l'impact ? Si ce n'est pas le cas, expliquer pourquoi et proposer une meilleure estimation.
 \item Une fois une bonne estimation trouvée, répondre à la question de la dangerosité.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}[Approche mathématique]
On donne la représentation graphique de la fonction $z$ dans un repère orthogonal. 

Sur cette courbe, on considère le point $A$ d'abscisse 8,73.

\vspace{.5\baselineskip}

\begin{center}
 \begin{tikzpicture}[general,xscale=1.2,yscale=0.014,scale=.8]
  \shorthandoff{:}
  \draw [quadrillage, xstep=1, ystep=100] (0,0) grid (10,500);
  \draw[quadrillageNIV2, ystep=25] (0,0) grid (10,500);
  \axeX{0}{10.25}{1,5,10}
  \axeY{0}{525}{100,200,300,400,500}
  \draw[color=J1,epais,smooth,domain=0:10, line cap=butt] plot(\x,{5*\x*\x});
  \pointFigure{8.73}{381}{A}{color=black, below right};
  \origine
  \draw (0.2,500) [color=black] node[right]{$z$ (m)};
  \draw (10,25) [color=black] node[left]{$t$ (s)};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Étude graphique
  \begin{enumerate}
   \item Soit $M$ le point de la courbe d'abscisse 0. Que représente le coefficient directeur de $(AM)$ ?
   \item Même question avec le point $M$ d'abscisse 8, puis $8,5$, puis $8,6$, puis\ldots
   \item Tracer la tangente $\mathcal{T}_A$ à la courbe au point $A$, c'est-à-dire la droite \og touchant \fg{} localement la courbe une seule fois en $A$, avec la plus grande précision. Que représente son coefficient directeur ? Le lire le plus précisément possible.
  \end{enumerate}
 \item Étude algébrique\\
  Le but est de calculer la valeur du coefficient directeur de $\mathcal{T}_A$. Pour cela, on utilise l'expression de la fonction: $z(t)=5t^2$.\\
  On considère la droite $(AM)$, où $M$ est un autre point de la courbe, \og assez proche de $A$ \fg, c'est-à-dire d'abscisse $8,73+h$, avec $h$ \og assez proche de 0 \fg.
  \begin{enumerate}
   \item La droite $(AM)$ est dite \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots à la courbe.
   \item Exprimer le coefficient directeur de $(AM)$ en fonction de $h$ puis simplifier au maximum l'expression obtenue.
   \item Lorsque $M$ se rapproche de $A$, que se passe-t-il géométriquement pour la droite $(AM)$ ?
   \item Lorsque $M$ se rapproche de $A$, que se passe-t-il numériquement pour $h$ ?
   \item En déduire la valeur exacte du coefficient directeur de $\mathcal{T}_A$.
  \end{enumerate}
  \item Dans le cas général, on considère un point $A$ d'abscisse $a$.\\
  En reprenant le principe d'étude de la question \textcolor{ActiviteItemColor}{\textbf{2)}}, déterminer une formule permettant d'obtenir le coefficient directeur de $\mathcal{T}_A$. Que représente-t-il ?
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{activite}