\begin{TP}[Méthode de Newton-Raphson][\algo\tice]
 Le but de cette méthode est de trouver des valeurs approchées des solutions d'une équation que l'on ne sait pas résoudre de façon algébrique.\\
 \partie{Description de l'algorithme}
  Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. On s'intéresse à l'équation $f(x)=0$.
  
  \parbox[b][23.5em][t]{0.42\linewidth}{\begin{tikzpicture}[general, xscale=2, yscale=2]
    \draw[axe,color=black] (-0.25,0) -- (2.5,0);
    \draw[axe,color=black] (0,-0.75) -- (0,2.5);
    \draw[color=black] (0,0) node[below left] {\small 0};
    \draw[color=D1] (2.117,0) node[below=0.15cm] {\small $x_0$};
    \draw[color=D1] (2.117,0)node{+};
    \pointFigure{2.117}{2.056}{A_0}{color=D1, above left};
    \draw[color=D1, dashed, -] (2.117,0)--(2.117,2.056);
    \draw[color=B1] (1.1899,0) node[below=0.15cm] {\small $x_1$};
    \draw[color=B1] (1.1899,0)node{+};
    \pointFigure{1.1899}{0.4297}{A_1}{color=B1, above left};
    \draw[color=B1, dashed, -] (1.1899,0)--(1.1899,0.4297);
    \draw[color=J1] (0.857,0) node[below=0.15cm] {\small $x_2$};
    \draw[color=J1] (0.857,0)node{+};
    \draw [domain=-0.25:2.309, color=A1, smooth] plot(\x,{(\x-0.798)*(\x+1)/2});
    \draw [domain=0.852:2.317, color=D1, smooth] plot(\x,{2.218*\x-2.6398});
    \draw (1,-0.5) [color=D1] node[right]{{\boldmath $\mathcal{T}_{A_0}$}};
    \draw [domain=0.2765:2.5, color=B1, smooth] plot(\x,{1.2909*\x-1.1069});
    \draw (0.5,-0.5) [color=B1] node[right]{{\boldmath $\mathcal{T}_{A_1}$}};
	\draw (1.5,1.5) [color=A1] node{{\boldmath $\mathcal{C}_f$}};
   \end{tikzpicture}}
  \parbox[b][23.5em][t]{0.55\linewidth}{
   \begin{enumerate}
   \item On note $x_0$ une première valeur approchée de l'équation $f(x)=0$.
   \item D'après l'exercice \RefExercice{1SF3_A_approx_affine} p. \pageref{1SF3_A_approx_affine}, pour $h$ proche de 0 :
    \begin{center}
     $f(x_0+h) \approx f(x_0) + hf'(x_0).$
    \end{center}
    En posant $x=x_0+h$, on obtient :
    \begin{center}
     $f(x) \approx f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0).$
    \end{center}
   \item La solution de l'équation $f(x)=0$ dans le voisinage de $x_0$ a donc pour valeur approchée la solution de l'équation :
    \begin{center}
     $f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0) = 0$.
    \end{center}
   \item On note $x_1$ la solution de cette équation, nouvelle valeur approchée de l'équation $f(x)=0$ et on recommence à l'étape \textbf{2.}
  \end{enumerate}}
  
\vspace{3mm}

  \partie{Mise en place de l'algorithme}
  \begin{enumerate}
   \item D'après la description de l'algorithme, exprimer $x_1$ en fonction de $f$, $f'$ et $x_0$.
   \item On considère l'algorithme suivant qui permet de calculer et afficher les dix premières valeurs : $x_1, \ldots, x_{10}$. 

     Le compléter puis le tester dans un logiciel adapté.
    \begin{algorithme}
     %\titreAlgo{Méthode de Newton-Raphson} 
     \BlocVariables
      \DeclareVar{x}{nombre}{}
      \DeclareVar{f,f'}{fonction}{}
     \BlocEntrees
      \Demander{x}
      \Demander{f,f'}
     \BlocTraitements
      \Pour{i}{1}{\ldots}{
       \DonnerValeur{x}{\ldots}
       \BlocAffichage
        \Afficher{x}
      }
     \FinAlgo
    \end{algorithme}
    \item On propose maintenant de s'arrêter lorsque la valeur approchée est \og suffisamment précise \fg. Adapter l'algorithme pour chacune des précisions suivantes :
     \begin{enumerate}
      \item $|f(x)| < 10^{-3}$ ;
      \item $|f(x)| < 10^{p}$, $p$ quelconque ;
      \item La différence entre deux valeurs consécutives de la variable \texttt{x} est inférieure à $10^{-3}$ ;
      \item La différence entre deux valeurs consécutives de la variable \texttt{x} est inférieure à $10^{p}$, $p$ quelconque.
     \end{enumerate}
  \end{enumerate}
  
 \partie{Application}
  Pour chacune des fonctions suivantes:
  \begin{enumerate}
   \item la représenter graphiquement ;
   \item déterminer graphiquement une première valeur approchée des solutions de $f(x)=0$ ;
   \item appliquer l'algorithme à l'aide d'un logiciel adapté.
  \end{enumerate}
  \vspace{0.5em}
  \begin{colitemize}{3}
   \item $f : x \mapsto x^2-2$
   \item $f : x \mapsto x^3-2x^2-4x+1$
   \item $f : x \mapsto x^5-3x-2$
  \end{colitemize}
\end{TP}