\begin{propriete}
  Si $u$ est une fonction monotone sur un intervalle $I$ telle que,
  pour tout $x \in I$, $u\left( x \right) \ne 0$ et $u\left( x
  \right)$ garde le m\^{e}me signe sur $I$, alors la fonction
  $\dfrac{1}{u}$ a un sens de variation contraire à celui de $u$ sur
  $I$.
\end{propriete}

\begin{preuve}
  Dans le cas o\`{u} $u$ est croissante sur $I$. 

  Soit $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que~$a<b$.
  $u$ étant croissante sur $I$, $u(a)\leq{}u(b)$. 

  De plus, $u$ ne s'annule pas sur $I$ et garde le m\^{e}me signe.
  \begin{itemize}
  \item Si $u\left(a\right)>0 \text{ et } u(b)>0$, alors la fonction inverse
    étant décroissante sur $\left]0\ ;\ +\infty{}\right[$, on
    a~$\dfrac{1}{u(a)}\geq{}\dfrac{1}{u(b)}$. Ainsi, la fonction
    $\dfrac{1}{u}$ est décroissante sur $I$.
  \item Si $u\left(a\right)<0 \text{ et } u(b)<0$, alors la fonction
    inverse étant décroissante sur $\left]-\infty{}\ ;\ 0\right[$, on
    a~: $\dfrac{1}{u(a)}\geq{}\dfrac{1}{u(b)}$. Ainsi, la fonction
    $\dfrac{1}{u}$ est décroissante sur $I$.
\end{itemize}

La démonstration est analogue lorsque $u$ est décroissante sur $I$.
\end{preuve}
