\begin{methode} [Étudier une fonction du type $\sqrt u $
  \MethodeRefExercice*{ex36A2}]
  \begin{itemize}
  \item La racine carrée d'un nombre existe si, et seulement si, ce
    nombre est positif.

  Pour trouver l'ensemble de définition de $\sqrt u $, on utilise~:
  \[
  \sqrt {u\left( x \right)} \text{ existe } \Leftrightarrow  u\left( x
  \right) \text{ existe et est positif}.
  \]
  \item On étudie le sens de variation de $u$, et sur les intervalles
    o\`{u} $u$ est positive, $u$ et $\sqrt u $ ont le m\^{e}me sens de
    variation.
  \end{itemize}

  \exercice\label{methode4A2}

  Soit $f$ la fonction telle que :

  $f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 3x - 4} $.
  \begin{enumerate}
  \item Vérifier que $f$ est définie sur $\left] { - \infty \ ;\  - 4}
    \right] \cup \left[ {1\ ;\  + \infty } \right[$.
  \item Étudier le sens de variation de $f$ sur chaque
    intervalle de son ensemble de définition.
  \end{enumerate}

  \correction

  \vspace{-\baselineskip}
  \begin{enumerate}
  \item $\sqrt {{x^2} + 3x - 4}$ existe 
    $\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 \ge 0$.

    On recherche les racines de $u\left( x \right) = {x^2} + 3x - 4$.

    $\Delta = {3^2} - 4 \times 1\left( { - 4} \right) = 25 =
    {5^2}$. 

    Le trin\^{o}me a deux racines~: 

    ${x_1} = \dfrac{{ - 3 - 5}}{2} = - 4{\text{ et }}{x_2} = \dfrac{{
        - 3 + 5}}{2} = 1$.

    $u\left( x \right)$ est du signe de $a = 1$, soit positif sauf
    entre les racines.
    
    Donc $f$ est bien définie sur $\left] {-\infty\ ;\ - 4} \right]
    \cup \left[ {1\ ;\ + \infty } \right[$.

  \item $a$ $>$ 0 et $ - \dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{3}{2}$ donc $u$
    est décroissante sur $\left] { - \infty \ ;\ -\dfrac{3}{2}} \right]$ et
    croissante sur $\left[ -\dfrac{3}{2}\ ;\  + \infty \right[$.
    
    Donc $f$ est décroissante sur $\left] { - \infty \ ;\ - 4}
    \right]$ et croissante sur $\left[ {1\ ;\ + \infty } \right[$.
  \end{enumerate}
\end{methode}
