\begin{propriete}
  Si $u$ est une fonction monotone sur un intervalle $I$ telle que,
  pour tout $x \in I$, $u\left( x \right) \ge 0$, alors la fonction
  $\sqrt u $ a le m\^{e}me sens de variation que $u$ sur $I$.
\end{propriete}

\begin{preuve}
  Dans le cas o\`{u} $u$ est croissante sur $I$. 

  Soit $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que~$a<b$.
  $u$ étant croissante sur $I$, $u(a)<u(b)$.  

  De plus, $u\left(a\right)\geq{}0$ et $u(b)\geq{}0$ et la fonction
  racine carrée est croissante sur $\left[0\ \ ;\ \ +\infty{}\right[$
  donc $\sqrt{u\left(a\right)}\leq{}\sqrt{u(b)}$. 

  Ainsi, la fonction $\sqrt{u}$ est croissante sur $I$.

  La démonstration est analogue lorsque $u$ est décroissante sur $I$.
\end{preuve}
