\begin{propriete}\label{prop-fonc-monotone}
  Soit $u$ une fonction monotone sur un intervalle $I$. Soit $k$ un
  réel.
  \begin{itemize}
  \item Si $k > 0$, alors les fonctions $u$ et $ku$ ont le
    m\^{e}me sens de variation sur $I$.
  \item Si $k < 0$, alors les fonctions $u$ et $ku$ ont des sens de
    variation contraires sur $I$.
  \end{itemize}
\end{propriete}

\begin{preuve}
  Dans le cas o\`{u} $u$ est croissante sur $I$.

  Soit $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a < b$. $u$ est
  croissante $I$ sur donc $u\left( a \right) \le u\left( b \right)$.
  \begin{itemize}
  \item Si $k > 0$ alors, en multipliant par $k$ le sens est
    conservé, on a donc $k \times u\left( a \right) \le k \times
    u\left( b \right)$.
  \end{itemize}

  Ainsi la fonction $ku$ est croissante sur $I$.
  \begin{itemize}
  \item Si $k < 0$ alors, en multipliant par $k$ le sens change, on
    a donc $k \times u\left( a \right) \ge k \times u\left( b
    \right)$.
  \end{itemize}

  Ainsi, la fonction $ku$ est décroissante sur $I$.

  Dans le cas o\`{u} $u$ est décroissante sur $I$, voir la
  démonstration à l'exercice \RefExercice{ex33A2}, p.~\pageref{ex33A2}.
\end{preuve}

\begin{exemple*1}
    On consid\`{e}re la fonction $u$ définie\\
    sur $\R$ par $u\left( x \right) = {x^2}$.  On dresse le tableau de\\
    variations des fonctions $u$, $4u$ et $-\dfrac{1}{2}u$.

    
    \begin{tikzpicture}[overlay,yshift=2.5cm,xshift=8cm,yscale=0.7,general]
      \tkzTabInit[lgt=1.5,espcl=1.7, lw=0.3mm, color, colorC=H4,
      colorV=H4, colorL=H4, colorT=A4]
      {$x$/1,$u(x)$/1,$4u(x)$/1,$-\dfrac{1}{2}u(x)$/1.5}
      {$-\infty$,$0$,$+\infty$} \tkzTabVar{+/,-/$0$,+/}
      \tkzTabVar{+/,-/$0$,+/} \tkzTabVar{-/,+/$0$,-/}
    \end{tikzpicture}

\end{exemple*1}