\begin{propriete} [Positions relatives de courbes]
  \begin{itemize}
  \item Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left[ {0\ ;\ 1}
    \right]$ :
    \[ {x^2} \le x \le \sqrt x .
    \]
  \item Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left[ {1\ ;\  + \infty
      } \right[$ :
    \[
    \sqrt x  \le x \le {x^2}.
    \]
  \end{itemize}

  \begin{center}
    \includestandalone{\pathmanuel/figures/img-42}
  \end{center}
\end{propriete}
\begin{preuve}\par
  \textbf{1\ier{} cas :} On suppose que $0 \le x \le 1$.

  On muliplie chaque membre par $x$ : $x^2 \le x.$

  La fonction racine carrée est croissante sur $\R^{+}$ donc $\sqrt x
  \le \sqrt 1$ donc $\sqrt x \le 1$.

    On multiplie chaque membre par $\sqrt x$ : $x \le \sqrt x$

  \textbf{2\up{nd} cas :} On suppose que $1 \le x$.

  On muliplie chaque membre par $x$ : $x \le {x^2}$.

  La fonction racine carrée est croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$ donc
  $\sqrt 1 \le \sqrt x$ donc $1 \le \sqrt x$.

  On muliplie chaque membre par $\sqrt x$ : $\sqrt x \le x$.
\end{preuve}
