\begin{propriete}
  La fonction racine carrée est strictement croissante sur $\left[ 0\
    ;\ + \infty \right[$.

  \begin{center}
    \includestandalone{\pathmanuel/figures/img-57}
  \end{center}
\end{propriete}

\begin{preuve}
  Posons $f\left( x \right) = \sqrt x $. Soit $a$ et $b$ deux réels
  tels que
  $0 \le a < b$. 

  Comparons $f\left( a \right)$ et $f\left( b
    \right)$ en étudiant le signe de leur différence:

    $f\left( a \right) - f\left( b \right) = \sqrt a  - \sqrt b  = \dfrac{{\sqrt a  -
        \sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }} \times \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right) =
    \dfrac{{{{\sqrt a }^2} - {{\sqrt b }^2}}}{{\sqrt a  + \sqrt b }} = \dfrac{{a -
        b}}{{\sqrt a  + \sqrt b }}$.

    $a - b < 0{\text{ et }}\sqrt a  + \sqrt b  > 0{\text{  donc }}f\left( a \right) -
    f\left( b \right) < 0{\text{  donc }}f\left( a \right) < f\left( b \right)$.
\end{preuve}
\begin{consequence}
  Deux nombres positifs sont rangés dans le m\^{e}me ordre que leurs
  racines carrées.
\end{consequence}
\begin{exemple}
  Dans chaque cas, comparer les deux nombres propos\'{e}s sans les
  calculer.
  \begin{enumerate}
  \item $\sqrt{3,79}$ et $\sqrt{3,8}$
  \item $\sqrt{\pi{}+1}$ et 2
  \end{enumerate}

  \correction

  \vspace{-\baselineskip}
  \begin{enumerate}
  \item $3,79<3,8.$

    La fonction racine carr\'{e}e est strictement croissante sur
    $\left[0\ ;\ +\infty{}\right[$ donc $\sqrt{3,79}<\sqrt{3,8}$.

  \item $4<\pi{}+1.$

    La fonction racine carr\'{e}e est strictement croissante sur
    $\left[0\ ;\ +\infty{}\right[$ donc $\sqrt{4}<\sqrt{\pi{}+1}$
    donc $2<\sqrt{\pi{}+1}$.
  \end{enumerate}
\end{exemple}
