\begin{exercice}[Nombre d'or][\tice]
  On consid\`{e}re la fonction $f$ définie sur $\left[0\ ;\ 4 \right]$
  par :

  $f\left( x \right) = \sqrt x $. 

  On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un rep\`{e}re orthonormé.

  On note $A$ le point de $\mathscr{C}$ d'abscisse 4.

  Soit $x$ un réel de $\left[ {0\ ;\ 4} \right]$, on note $M$ le point de
  $\mathscr{C}$ d'abscisse $x$ et $N$ le point de $\left[ {OA} \right]$
  d'abscisse $x$.

  {\centering \includegraphics{\pathmanuel/figures/img-19}\par}

\partie{}

\vspace{-\baselineskip}

\begin{enumerate}
\item Construire cette figure sur un logiciel de géométrie dynamique.
\item Afficher la longueur $MN$. Quelle semble \^{e}tre la position de
  $M$ pour laquelle cette distance est maximale? On note $m$ cette
  distance maximale.
\item Pour tout réel $x$ de $\left[0\ ;\ 4 \right]$, on pose~:

  $MN = f\left( x \right)$. 

  Montrer que $f\left( x \right) = \sqrt x - \dfrac{1}{2}x$.

\item Pour tout réel $x$ de $\left[ {0\ ;\ 4} \right]$, montrer que
  $f\left( x \right) - m \le 0$. Démontrer la conjecture du
  \textbf{1)}.
\end{enumerate}

\partie{}

\vspace{-\baselineskip}
\begin{enumerate}
\item Construire, sur le logiciel, le triangle $OMN$ et afficher son
  aire. Pour quelle valeur de $x$ non nulle, arrondie au centi\`{e}me,
  le triangle $OMN$ semble-t-il isoc\`{e}le en $N$?

\item Résoudre algébriquement le probl\`{e}me.

\item Montrer que l'unique solution ${x_0}$ peut s'exprimer en
  fonction de $\Phi = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$ (ce nombre est appelé
  le nombre d'or).
\end{enumerate}
\end{exercice}