\begin{TP}[Coupe en deux!][\algo\tice]
  On souhaite résoudre l'équation  $x^2+\ 2x-1=\dfrac{1}{x+1}$ dans $[0\ ;\ 1]$
  de mani\`{e}re approchée.
  \begin{enumerate}
  \item Étudier le sens de variation de la fonction
    $f:x\mapsto{}x^2+2x-1$ sur $[0\ ;\ 1]$.

  \item Étudier le sens de variation de la fonction
    $g:x\mapsto{}\dfrac{1}{x+1}$ sur $[0\ ;\ 1]$.

  \item \textbf{Méthode graphique}

    \vspace{-.5\baselineskip}
    \begin{minipage}[c]{.45\linewidth}
      On donne les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$
      ci-contre.

      On note $\alpha{}$ la solution de l'équation
      $f\left(x\right)=g(x)$. Par lecture graphique, donner un
      encadrement de $\alpha{}$ d'amplitude~0,1.
    \end{minipage}\hfill
    \begin{minipage}[c]{.45\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[baseline=-2ex,general,x=.75cm,y=.75cm]
      \draw [quadrillage] (-1,-2) grid [step=.75cm] (10,3);
      \draw [axe] (-1,0) -- (10,0);
      \draw [axe] (0,-2) -- (0,3);
      \draw (0,0)  node [below left] {0};
      \draw (10,0) node [below left] {1};
      \draw (0,2)  node [left] {2};
      \draw (1,0) node {+} node [below] {0,1};
      \draw [J1] (-1,1.2)  to [bend right=5] node [above,very near end] {$C_f$} (10,0.5);
      \draw [A1] (-1,-1.2) to [bend right=5] node [above,near end] {$C_g$} (10,2.2);
    \end{tikzpicture}
    \end{minipage}

    \pagebreak

  \item \textbf{Méthode par dichotomie}

  On consid\`{e}re l'algorithme ci-dessous.

  {\centering\begin{minipage}{.75\linewidth}
  \begin{oldalgorithme}
\textit{Variables} : n~: entier~;
a, b, m : réels
\textit{Entrée}
Lire n
\textit{Initialisation}
a prend la valeur 0
b prend la valeur 1
\textit{Traitement}
Tant que b - a > 10$^{-\mathtt{n}}$ faire 
   m prend la valeur $\dfrac{\mathtt{a}+\mathtt{b}}{2}$
   Si f(m) < g(m)
      Alors
         a prend la valeur m
   Sinon
      b prend la valeur m
   Fin Si
FinTantQue
\textit{Affichage}
Afficher a, b
\textit{Fin de l'algorithme}%
  \end{oldalgorithme}
  \end{minipage}\par}

  \begin{enumerate}
  \item Reproduire et compléter le tableau suivant pour $n = 1$.

    \vspace{1mm}

    {\centering
    \begin{tabular}{|p{2cm}|p{1cm}|p{2.5cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{2cm}|}
      \hhline{~------} 
      \rowcolor{FondTableaux}
      \multicolumn{1}{c|}{\cellcolor{white}}
      & \centering $m$ & \centering $f\left(m\right)<g(m)$ & \centering $a$ & 
      \centering $b$ & \centering $b - a$ & \centering $b - a>10^{-1}$  \tabularnewline  \hline
      \cellcolor{FondTableaux}\textit{Initialisation}  &  &  &   0  &   1  &   1  &   oui  \\  \hline
      \cellcolor{FondTableaux}\textit{Boucle}

    \cellcolor{FondTableaux}\quad Itération 1  &   0,5  &   oui  &   0,5  &   1  &   0,5  &   oui  \\  \hline
    \cellcolor{FondTableaux}\quad Itération 2  &  &  &  &  &  &  \\  \hline
  \end{tabular}
  \par}

\vspace{1mm}

  Quel résultat donne cet algorithme?

\item Programmer cet algorithme sur une calculatrice ou un logiciel et
  déterminer un encadrement de $\alpha{}$ d'amplitude $10^{-4}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{TP}