\begin{TP}[Petite ou grande aire ?][\tice]

On consid\`{e}re la fonction $f$ définie sur $\left[ {0\ ;\ 4} \right]$ par
$f\left( x \right) = \sqrt { - {x^2} + 4x} $.

Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique.

\partie{Construction avec un logiciel}

\begin{minipage}[c]{.65\linewidth}
  \begin{enumerate}
  \item Construire la courbe $C$ représentative de $f$ dans un
    rep\`{e}re orthonormé $\left( {O\ ;\ \overrightarrow i
        ,\overrightarrow j } \right)$.

  \item Placer un point $M$ sur $C$ et placer le point $A$(2~; 0).

    Afficher la distance $AM$. Déplacer $M$. Que constate-t-on?

  \item Quelle conjecture peut-on émettre quant aux variations de
    ${y_M}$ lorsque $M$ parcourt $C$ en partant de $O$~vers $B$(4~;
    0)?

  \item Construire le triangle $ABM$ et afficher son aire.

    Préciser la position de $M$ qui semble donner une aire maximale à
    ce triangle et donner la valeur de cette aire maximale.
  \end{enumerate}
\end{minipage} 
\hfill 
\begin{minipage}[t]{.3\linewidth}
  \includegraphics{\pathmanuel/figures/img-40}
\end{minipage}

\partie{Démonstrations}

\vspace{-\baselineskip}

\begin{enumerate}
\item Prouver que $C$ est un demi-cercle de centre $A$
  dont on précisera le rayon.

\item Étudier le sens de variation de la fonction $x\mapsto -x^2 + 4x$
  sur $\left[ 0\ ;\ 4 \right]$ et en déduire celui de la fonction $f$.

\item Pour tout réel de $\left[ 0\ ;\ 4 \right]$, on note $g\left( x
  \right)$ l'aire du triangle $OBM$. 

  Montrer que $g\left( x \right) =
  2\sqrt {4x - {x^2}} $.

\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. Préciser le
  maximum de $g$ et en quelle valeur il est atteint.
\end{enumerate}
\end{TP}