
\begin{methode*1}[Résoudre une équation du second degré
  \MethodeRefExercice*{ex29A1}]

  Pour résoudre l'équation $ax^2+bx+c=0$ dans $\R$:
  \begin{enumerate}
  \item on lit les coefficients $a$, $b$ et~$c$;
  \item on calcule le discriminant $\Delta{}=b^2-4ac$;
  \item suivant le signe du discriminant, on en déduit les solutions
    de l'équation si elles existent.
  \end{enumerate}

  \exercice
  \label{methode5A1}

  Résoudre l'équation $2x^2-3x+1=0$.

  \correction

  On a $a=2$, $b=-3$ et $c=1$.

  Il faut d'abord calculer le discriminant 
  $
  \Delta{}=b^2-4ac={\left(-3\right)}^2-4\times{}2\times{}1=1.
  $

  Le discriminant est strictement positif donc l'équation a deux
  solutions notées $x_1$ et~$x_2$:

  $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta{}}}{2a}=\dfrac{-\left(-3\right)-\sqrt{1}}{2\times{}2}=\dfrac{1}{2}$
  \quad et\quad
  $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta{}}}{2a}=\dfrac{-\left(-3\right)+\sqrt{1}}{2\times{}2}=1$.

  Les deux solutions obtenues sont 1 et $\dfrac{1}{2}$.
\end{methode*1}

\begin{remarques}
  \begin{itemize}
  \item Si $c$ est nul dans la forme développée, il est inutile de
    calculer $\Delta{}$ car on peut factoriser
    $ax^2+bx=x\left(ax+b\right)$. 

    On résout une équation produit nul, l'équation a deux solutions :
    0 et $-\dfrac{b}{a}$.

  \item Si $a$ et $c$ sont de signe contraire et non nuls, alors
    l'expression $-4ac$ est de signe strictement positif et donc
    $\Delta{}>0$ et l'équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ a donc
    deux solutions.
  \end{itemize}

  En effet, si on considère l'équation du second degré
  $\dfrac{1}{3}x^2-2x-\dfrac{2}{3}=0$, on a $a=\dfrac{1}{3}$, $b=-2$
  et $c=-\dfrac{2}{3}$. Cette équation a deux solutions car
  $\dfrac{1}{3}$ et $-\dfrac{2}{3}$ sont de signe contraire.
\end{remarques}
