
\begin{theoreme}
  \MotDefinition[Forme factorisée]{}{}
  Le nombre de solutions de l'équation du second degré
  $ax^2+bx+c=0$ dépend du signe de~$\Delta{}$.

\begin{ctableau}{\linewidth}{4}
  \hhline{~---}
  \multicolumn{1}{c|}{}
  & \cellcolor{FondTableaux}\centering$\Delta{}>0$ 
  & \cellcolor{FondTableaux}\centering$\Delta{}=0$ 
  & \cellcolor{FondTableaux}\centering$\Delta{}<0$\tabularnewline\hline
  L'équation $ax^2+bx+c=0$& 
  \raggedright a deux solutions $x_1$ et~$x_2$ : $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta{}}}{2a}$
  $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta{}}}{2a}$\BotStrut[2.5] & 
  a une solution 

  $x_0=\alpha{}=-\dfrac{b}{2a}$ & 
  n'a pas de solution réelle\tabularnewline\hline
  La courbe 

  représentative $C_{f}$& 
  \raggedright coupe l'axe des abscisses en deux points $\left(x_1\ ;\ 0\right)$ et
  $\left(x_2\ ;\ 0\right)$& 
  \raggedright coupe l'axe des ordonnées en son sommet $\left(x_0\ ;\ 0\right)$& 
  \raggedright ne coupe pas l'axe des abscisses\tabularnewline\hline
  \raggedright Forme factorisée de~$f$& 
  $a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$& 
  $a{\left(x-x_0\right)}^2$& 
  pas de factorisation dans $\R$\tabularnewline\hline
\end{ctableau}
\end{theoreme}

\begin{preuve}
  L'expression $f(x)$ peut s'écrire sous la forme :
  \[
  f\left(x\right)={ax}^2+bx+c=a{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}
  \text{ (vu en \textbf{1.B})},
  \] soit
  $f\left(x\right)=a{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{\Delta{}}{4a}=0.$
  
  % L'équation $f\left(x\right)=0$ est donc équivalente à
  % \[
  % a{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{\Delta{}}{4a}=0
  % \]
  % c'est-à-dire
  % \[
  % a{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2=\dfrac{\Delta{}}{4a}.
  % \]
  Or $a\neq 0$ donc cela revient à
  $
  {\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2=\dfrac{\Delta{}}{4a^2}.
  $

  Le nombre $a^2$ étant strictement positif, on en déduit que
  $\dfrac{\Delta{}}{4a^2}$ a le m\^{e}me signe que $\Delta{}$. Le
  nombre de solutions de l'équation dépend donc uniquement du signe du
  discriminant.
\end{preuve}

\begin{preuve} (suite)

  \textbf{1\ier{} cas : }$ \Delta{}>0$

  L'équation 
  \[
  {\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2=\dfrac{\Delta{}}{4a^2}
  \]
  est de la forme~$X^2=A$ avec $A > 0$ dont les solutions sont
  $X=\sqrt{A}$ et $X=-\sqrt{A}$.  

  En notant les deux solutions
  correspondantes $x_1$ et $x_2$, on obtient :

  $
  x_1+\dfrac{b}{2a}=-\sqrt{\dfrac{\Delta{}}{4a^2}}
  $
  et
  $
  x_2+\dfrac{b}{2a}=\sqrt{\dfrac{\Delta{}}{4a^2}}
  $
  soit
  $
  x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta{}}}{2a}
  $
  et
  $
  x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta{}}}{2a}.
  $

  L'expression $f(x)$ peut s'écrire sous la forme :
  \[
    f\left(x\right)  =a\left({\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{\Delta{}}{{4a}^2}\right)
        =a\left(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta{}}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2a}-
      \dfrac{\sqrt{\Delta{}}}{2a}\right)
  \]
  gr\^{a}ce à l'identité remarquable $A{^2} - B{^2}$ car
  $
  \Delta{}={\left(\sqrt{\Delta{}}\right)}^2\quad (\Delta{}>0).
  $

  \textbf{2\ieme{} cas :} $\Delta{}=0$

  L'équation 
  \[
  {\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2=0
  \]
  a une unique solution $x_0$ telle que, $x_0+\dfrac{b}{2a}=0$
  c'est-à-dire $x_0=-\dfrac{b}{2a}=\alpha{}$.
  Cela correspond au cas où la forme canonique de $f$ est telle que
  $\beta{}=0$, c'est-à-dire
  $f\left(x\right)=a{\left(x-\alpha{}\right)}^2$ qui est une forme
  factorisée.

  \textbf{3\ieme{} cas : } $\Delta{}<0$

  L'équation 
  \[
  {\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2=\dfrac{\Delta{}}{4a^2}
  \]
  n'a pas de solution pour $x \in \R$ car quel que soit
  $
  x\in{}\R,\ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\geq{}0
  $
  et
  $
  \dfrac{\Delta{}}{4a^2}<0.
  $
  % On ne peut pas factoriser l'expression algébrique $f(x)$ égale à
  % \[
  % a{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{\Delta{}}{4a}
  % \]
  % avec l'identité remarquable $A{^2} - B{^2}$.
\end{preuve}
