\subsection{Sens de variation}

Soit $f$ une fonction du second degré dont la forme canonique
est $f\left(x\right)=a{\left(x-\alpha{}\right)}^2+\beta{}$.

Le sens de variation de $f$ dépend du signe de $a$.

{\centering
\begin{tabular}{>{\centering}p{7cm}|>{\centering}p{6cm}}
  $a>0$ & $a<0$\tabularnewline
  \begin{tikzpicture}[scale=0.7,general]
    \tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.6, lw=0.3mm, color, colorC=H4,
    colorV=H4, colorL=H4, colorT=A4]
    {$x$/1, variations \\de $f$/2}
    {$-\infty$,$\alpha$,$+\infty$}
    \tkzTabVar{+/, -/$\beta$ , +/}
  \end{tikzpicture}

  \includestandalone{\pathmanuel/figures/img-63}
  &
  \begin{tikzpicture}[scale=0.7,general]
    \tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.6, lw=0.3mm, color, colorC=H4,
    colorV=H4, colorL=H4, colorT=A4]
    {$x$/1, variations \\de $f$/2}
    {$-\infty$,$\alpha$,$+\infty$}
    \tkzTabVar{-/, +/$\beta$ , -/}
  \end{tikzpicture}
  \includestandalone{\pathmanuel/figures/img-64}
\end{tabular}
\par}

 \begin{preuve}
   \textbf{cas $\boldmath a > 0$ :} La forme canonique de la fonction $f$ est un
   encha\^{\i}nement de fonctions :

   {\centering
   $x\xrightarrow{\text{\scriptsize soustraire $\alpha$}}%
   x - \alpha%
   \xrightarrow{\parbox{1cm}{\scriptsize élever\\ au carré}}%
   (x - \alpha)^2%
   \xrightarrow{\parbox{1cm}{\scriptsize multiplier par $a$}}%
   a(x - \alpha)^2%
   \xrightarrow{\parbox{1cm}{\scriptsize ajouter $\beta$}}%
   a(x - \alpha)^2 + \beta$
   \par}

 \vspace{4mm}

\begin{minipage}[t]{.47\linewidth}
  \centerline{Sur l'intervalle $\left]-\infty{}\ ;\ \alpha{}\right]$}

  Soit $u$ et $v$ deux nombres tels que
  $u<v\leq{}\alpha{}$

  $u-\alpha{}<v-\alpha{}\leq{}0$

  ${\left(u-\alpha{}\right)}^2>{\left(v-\alpha{}\right)}^2\geq{}0$

  car la fonction carré est strictement décroissante
  sur $\left]-\infty{}\ ;\ 0\right]$.

  $a\times{}{\left(u-\alpha{}\right)}^2>a\times{}{\left(v-\alpha{}\right)}^2>0$
  car $a > 0$

  $a\times{}{\left(u-\alpha{}\right)}^2+\beta{}>a\times{}{\left(v-\alpha{}\right)}^2+\beta{}>\beta{}$

  $f\left(u\right)>f\left(v\right)>\beta{}$

  \emph{Conclusion} : La fonction $f$ change l'ordre, donc $f$ est
  décroissante sur $\left]-\infty{}\ ;\ \alpha{}\right[$.  
\end{minipage}
\hfill\tikz[general,overlay]{\draw [G2] (0,0) -- (0,-5.75);}\hfill
\begin{minipage}[t]{.47\linewidth}
\centerline{Sur l'intervalle $\left[\alpha{}\ ;\ +\infty{}\right[$}

  Soit $u$ et $v$ deux nombres tels que

  $\alpha{}\leq{}u<v$

  $0\leq{}u-\alpha{}<v-\alpha{}$

  $0\leq{}{\left(u-\alpha{}\right)}^2<{\left(v-\alpha{}\right)}^2$
  
  car la fonction carré est strictement croissante sur
  $\left[0\ ;\ +\infty{}\right[$.

  $0<a\times{}{\left(u-\alpha{}\right)}^2<a\times{}{\left(v-\alpha{}\right)}^2$car
  $a > 0$

  $\beta{}<a\times{}{\left(u-\alpha{}\right)}^2+\beta{}<a\times{}{\left(v-\alpha{}\right)}^2+\beta{}$

  $\beta{}<f\left(u\right)<f\left(v\right)$
  
  \emph{Conclusion} : La fonction $f$ conserve l'ordre, donc $f$ est croissante
  sur $\left[\alpha{}\ ;\ +\infty{}\right[$.
\end{minipage}


De plus
$f\left(\alpha{}\right)=a{\left(\alpha{}-\alpha{}\right)}^2+\beta{}=\beta{}$.
\end{preuve}
