\subsection{Forme canonique}

\begin{theoreme}
  Toute fonction $f$ du second degré définie sur $\R$ par
  $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ peut s'écrire de fa\c{c}on unique sous
  la forme $f\left(x\right)=a{\left(x-\alpha{}\right)}^2+\beta{}$ où
  $\begin{cases}
    \alpha{}=-\dfrac{b}{2a} \\
    \beta{}=f\left(\alpha{}\right)
  \end{cases}$. Cette forme est appelée la \MotDefinition{forme
    canonique}{}. La courbe représentative de $f$ est une
  \textbf{parabole} de sommet $S\left(\alpha{};\beta{}\right)$.

  L'équation de la parabole est $y=ax^2+bx+c$.
\end{theoreme}

\begin{preuve}
  \[
  f\left(x\right)={ax}^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c=a\left({\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{b^2}{{\left(2a\right)}^2}\right)+c=a{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{b^2}{4a}+c.
  \]

  On peut réécrire cette expression sous la forme
  $
  \begin{aligned}[t]
    f\left(x\right) &= {ax}^2+bx+c\\
    &= a{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}.
  \end{aligned}
  $

  On pose $\alpha{}=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta{}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
  donc
  $
  f\left(x\right)={ax}^2+bx+c=a{\left(x-\alpha{}\right)}^2+\beta{}.
  $

  Alors $f\left(\alpha{}\right)=a{\left(\alpha{}-\alpha{}\right)}^2+\beta{}$.
  Par conséquent, on obtient $f\left(\alpha{}\right)=\beta{}$.
\end{preuve}
