\begin{exercice}[Ni trop chaud, ni trop froid]
  Pour de nombreuses espèces (mammifères, poissons, micro-organismes),
  on peut faire l'hypothèse que la relation du taux de croissance
  $\mu{}$ (en~pourcentage du nombre d'individus par heure) de la
  population avec la température $T$ (en \degres{}C) de
  l'environnement est un polyn\^{o}me du second degré.

  Les valeurs des coefficients $a$, $b$ et $c$ vont dépendre de
  l'espèce considérée.

  Du point de vue de la biologie, on a nécessairement $\mu{}\geq{}0$.

  On sait qu'il existe pour chaque individu un optimum de
  croissance $T_{\text{opt}}$, ainsi que des températures minimale $T_1$ et
  maximale $T_2$ de croissance au-delà desquelles il n'y a plus de
  croissance. On note
  $\mu{}\left(T\right)=a{\left(x-\alpha{}\right)}^2+\beta{}$ la forme
  canonique de $\mu{}$.
  \begin{enumerate}
  \item  Modélisation
    \begin{enumerate}
    \item Justifier que la fonction $\mu{}$ est définie
      sur $\left[T_1\ ;\ T_2\right]$.

    \item Expliquer
      pourquoi $\begin{cases}
          \mu{}\left(T_{\text{opt}}\right)=\beta{} \\
          \mu{}\left(T_1\right)=0 \\
          \mu{}\left(T_2\right)=0.
        \end{cases}$
    \end{enumerate}
  \item Étude de la bactérie \textit{Methylosinus trichosporium}

    On conna\^{\i}t approximativement $T_{\text{opt}}=23$ qui correspond à
    $\mu{}\left(T_{\text{opt}}\right)=0,012$ soit une croissance du nombre
    d'individus de 1,2~\% par heure et $T_1=9$.
    \begin{enumerate}
    \item En déduire la forme canonique de $\mu{}$.
    \item Quelle est la température $T_2$ pour cette bactérie ?
    \item Si la population de \textit{Methylosinus trichosporium} est
      composée de 300 individus, quelle sera la population à une
      température de 30~\degres{}C au bout de 12~h ?
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exercice}
