\begin{activite}[Combien de solutions ?][\tice]\label{activite2A1}

  Soit $f$ la fonction du second degré définie sur $\R$ par
  $f\left(x\right){=ax}^2+bx+c$ dont la forme canonique est
  $f\left(x\right)=a{\left(x-\alpha{}\right)}^2+\beta{}$.

  \partie[Expérimentation]

\habillage{%
\begin{tikzpicture}[general,scale=.9]
  \draw [quadrillage] (-4,-1) grid (4,8);
  \draw [axe] (-4,0) -- (4,0);
  \draw [axe] (0,-1) -- (0,8);
  \begin{scope}
    \clip (-2,0) rectangle (4,8);
    \draw [J1, domain=-2:4,smooth] plot (\x,{(\x-1)^2 + 1}); 
  \end{scope}
  \draw (0,0) node [below right] {0};
  \draw (1,0) node {+} node [below] {1};
  \draw (0,1) node {+} node [above left] {1};
  \draw [F1] (-3,1) -- (-1,1) node [midway] {$\bullet$} node [midway,above left] {$\beta$};
  \draw [F1] (-3,2) -- (-1,2) node [midway] {$\bullet$} node [midway,above left] {$\alpha$};
  \draw [F1] (-3,3) -- (-1,3) node [midway] {$\bullet$} node [midway,above left] {$a$};
\end{tikzpicture}%
}

\vspace{-3mm}

  \begin{enumerate}
  \item Avec un logiciel de géométrie, créer\\
    trois variables réelles $a$, $\alpha{}$ et $\beta{}$ compris entre
    $-5$ et $5$\\
    avec un pas de 0,1.

  \item Fixer $a = 1$. Faire varier $\alpha{}$ et $\beta{}$. 

    Du quel de ces deux param\`{e}tres dépend\\
    le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ ?

    Préciser les observations effectuées.

  \item Fixer $\beta{}=1$. Faire varier $a$ et $\alpha{}$. 

    Du quel de ces deux param\`{e}tres dépend\\
    le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$?

    Préciser les observations effectuées.

  \item Fixer $\beta{}=0$. 

    Combien l'équation a-t-elle de solutions ?
  \end{enumerate}

  \partie[Synth\`{e}se des observations]

  \vspace{-\baselineskip}
  \begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous\\
    qui donne le nombre de solutions de l'équation\\
    ${ax}^2+bx+c=0$
    selon les valeurs de $a$ et $\beta{}$.

    \begin{center}
      \begin{ctableau}{4cm}{3}
        \hhline{~--}
        \multicolumn{1}{c|}{\cellcolor{white}} & \cellcolor{FondTableaux}  $a > 0$  & \cellcolor{FondTableaux}  $a<0$  \\  \hline\hhline{~}
        $     \beta{}=0$     &  &  \\\hline
        $
        \beta{}>0
        $&  &  \\\hline
        $
        \beta{}<0
        $&  &  \\\hline
      \end{ctableau}%
    \end{center}

\item Compléter les propositions ci-dessous.

Si $\beta{}=0$, alors l'équation a \ldots{} solution(s).

Si $a$ et $\beta{}$ sont de m\^{e}me signe, l'équation a \ldots{}
solution(s).

Si $a$ et $\beta{}$ sont de signe contraire, l'équation a \ldots{}
solution(s).
\end{enumerate}

\partie[Démonstration]

En fait, résoudre l'équation revient à résoudre
$a{\left(x-\alpha{}\right)}^2+\beta{}=0$.
\begin{enumerate}
\item Résoudre cette équation si $\beta{}=0$.
\item Si $\beta{}\neq 0$, montrer que le nombre de solutions dépend
  du nombre $\dfrac{\beta{}}{a}$.
\item En quoi cela rejoint-il la synth\`{e}se effectuée \textbf{partie
    B. 2)} ?
\end{enumerate}
\end{activite}
