\begin{activite}[Cette courbe tient une sacrée forme !]\label{activite1A1}
  Soit $f$ la fonction du second degré définie sur $\R$ par
  $f\left(x\right)={2x}^2-8x-6$.

  \begin{center}
    \includestandalone{\pathmanuel/figures/img-58}
  \end{center}

  \begin{enumerate}
  \item Lecture graphique
    \begin{enumerate}
    \item Lire les coordonnées du sommet de la parabole $C_f$.

    \item La fonction $f$ peut s'écrire sous la
      forme $f\left(x\right)=a{\left(x-\alpha{}\right)}^2+\beta{}$,
      appelée forme canonique de la fonction $f$ et cette écriture est
      unique.

      Que valent $\alpha{}$ et~$\beta{}$?

    \item En remarquant que $f(5)=4$, on peut écrire que
      $a{\left(5-\alpha{}\right)}^2+\beta{}=4$. 

      En déduire $a$, puis la forme canonique de $f$.
    \end{enumerate}

  \item Sans utiliser la courbe représentative de la fonction $f$, on
    peut mener le raisonnement suivant pour déterminer la forme
    canonique.
    \begin{enumerate}
    \item Trouver le nombre réel $d$ tel que
      ${2x}^2-8x-6=2\left(x^2-4x-d\right)$.

    \item En développant $(x - 2){^2}$, déterminer $e$ tel que
      $x^2-4x-d={\left(x-2\right)}^2+e$.

    \item En déduire la forme canonique de $f$.
    \end{enumerate}

  \item Reprendre la démarche précédente pour déterminer la forme
    canonique de la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
    \[g\left(x\right)={4x}^2+8x+10.\]

  \item Dans le cas g\'{e}n\'{e}ral, une fonction $f$ du second
    degr\'{e} est d\'{e}finie sur $\R$ par :
    \[f\left(x\right)={ax}^2+bx+c \text{ avec } a\neq 0.\]
\begin{enumerate}
\item D\'{e}velopper $a{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2$.

\item En d\'{e}duire que
  ${ax}^2+bx+c=a{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2+d$ o\`{u} $d$ est un
  nombre r\'{e}el que l'on d\'{e}terminera.

\item On pose $\alpha{}=-\dfrac{b}{2a}$. Calculer
  $f\left(\alpha{}\right)$.

\item Conclure sur la forme canonique de $f$.
\end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{activite}

