\begin{TP}[Véhicules propres][\tice\calculatrice]
  Une entreprise fabrique des voitures électriques qu'elle
  commercialise. Le co\^{u}t de fabrication (en milliers d'euros) de
  $q$ voitures est modélisé par la fonction
  $c\left(q\right)=-\dfrac{1}{10}q^3+2q^2-2,1q+21$ pour $q\in{}\left[0\ ;\ 10\right]$.
  Une voiture est vendue au prix de \nombre{10000}~\euro{} et
  toutes les voitures fabriquées sont vendues. On s'intéresse au
  bénéfice de l'entreprise, c'est-à-dire à la différence entre la
  recette et le co\^{u}t de fabrication. Lorsque le bénéfice de
  l'entreprise est positif, on dit que la production est rentable.

\partie{Étude de la fonction bénéfice}
\vspace{-\baselineskip}
\begin{enumerate}
\item Calculer $c(0)$. Le nombre $c(0)$ représente les co\^{u}ts fixes
  de l'entreprise.

\item Montrer que le bénéfice de l'entreprise s'écrit
  $B\left(q\right)=\dfrac{1}{10}q^3-2q^2+12,1q-21$.

\item À l'aide d'un tableur ou de la calculatrice, conjecturer le
  nombre de voitures à produire pour que la production soit rentable.
\end{enumerate}

\partie{Étude algébrique de la fonction $B$}
\vspace{-\baselineskip}
\begin{enumerate}
\item Vérifier que 3 est racine de l'expression $B(q)$.

\item Montrer que l'on a
  $B\left(q\right)=\dfrac{1}{10}\left(q-3\right)\left(q^2-17q+70\right)$
  quel que soit $q\in{}\left[0\ ;\ 10\right]$.

\item En déduire le signe de la fonction $B$.

\item Conclure sur la quantité de voitures à produire pour que
  la production soit rentable.
\end{enumerate}
 
 \partie{Bénéfice maximal}

  On définit le co\^{u}t marginal de production. Il s'agit du co\^{u}t
  de production d'une unité supplémentaire quand on en a déjà produit
  $q$ : $c_m\left(q\right)=c\left(q+1\right)-c\left(q\right)$. Le
  bénéfice est maximal quand le co\^{u}t marginal est égal au prix de
  vente.

  \begin{enumerate}
  \item À l'aide d'un tableur, calculer le co\^{u}t marginal de
    production et remplir le tableau suivant.

    \begin{center}
      \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering}X|}}
        \hline \cellcolor{FondTableaux}$q$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
        & 7 & 8 & 9 \tabularnewline \hline
        \cellcolor{FondTableaux}$C_{m}(q)$ & & & & & & & & & &
        \tabularnewline \hline
      \end{tabularx}
    \end{center}
Pour quelle quantité d'objets vendus, le co\^{u}t marginal est-il égal
au prix de vente de l'objet (ou le plus proche possible) ? Que se
passe-t-il lorsque le co\^{u}t marginal devient supérieur au prix de
vente de l'objet ?

\item On a obtenu avec un logiciel de calcul formel l'écran suivant :

  \begin{center}
    \includegraphics[width=.45\linewidth]{\pathmanuel/figures/img-92.eps}\quad 
    \includegraphics[width=.5\linewidth]{\pathmanuel/figures/img-93.eps}
  \end{center}

  Que peut-on en déduire ?

\item Calculer la quantité de voiture vendues pour laquelle le
  co\^{u}t marginal est égal au prix de vente. Quelle conclusion doit
  en tirer l'entreprise pour réaliser un bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\end{TP}